Результаты исследования учащихся в проекте матрицы в Pascale — различия между версиями

Материал из НГПУ им. К.Минина
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Результаты проведённого исследования)
(→‎Вывод)
 
(не показано 7 промежуточных версий этого же участника)
Строка 24: Строка 24:
 
'''''Матрицы''''' широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
 
'''''Матрицы''''' широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
  
−
Систему из <math>m</math> уравнений с <math>n</math> неизвестными
+
Матрицы допускают следующие алгебраические операции:
−
: <math>\begin{cases}
+
−
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\
+
  
−
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\
+
    * сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
−
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
+
    * умножение матриц подходящего размера;
−
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m
+
    * умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. н. скаляр).
−
\end{cases}</math>
+
−
можно представить в матричном виде
+
  
−
: <math>A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ;\quad X = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ;\quad B = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}</math>
+
Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют векторное поле над соответствующим кольцом или полем. Для квадратных матриц матричное умножение является замкнутой операцией, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют кольцо относительно матричного сложения и матричного умножения.
  
−
и тогда всю систему можно записать так:
+
Матрица представляет собой матрицу некоторого линейного оператора: свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.
−
: <math>AX = B</math>,
+
  
−
где <math>A</math> имеет смысл таблицы коэффициентов <math>a_{ij}</math> системы уравнений.
+
В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.
  
−
Если <math>m = n</math> и матрица <math>A</math> [[Невырожденная матрица|невырожденная]], то решение этого уравнения состоит в нахождении обратной матрицы <math>A^{-1}</math>, поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева
+
Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают, например, устойчивостью.
−
: <math>A^{-1}AX = A^{-1}B</math>
+
 
 +
 
 +
Решение задач рассмотрим на следующем примере:
 +
 
 +
Найти среднее арифметическое элементов матрицы X(n,m), и сформировать вектор Y из элементов больших среднего арифметического.  Матрицу формируем целыми числами в интервале от 0 до 10.
 +
 
 +
Решение:[[Медиа:Задача.pdf|Задача]]
  
−
<math>A^{-1}A</math> — превращается в <math>E</math> (единичную матрицу). И это даёт возможность получить столбец корней уравнений
 
−
: <math>X = A^{-1}B</math>.
 
  
−
Все правила, по которым проводятся операции над матрицами, выводятся из операций над системами уравнений.
 
  
−
==Вывод==
 
  
−
==Полезные ресурсы==
 
  
−
== Другие документы ==
 
  
  
 
[[Категория:Проекты]]
 
[[Категория:Проекты]]

Текущая версия на 19:29, 15 декабря 2010

Авторы и участники проекта

Кудряшова Екатерина, Поломошнова Екатерина и участники группы "Математики"

Тема исследования группы

Математические задачи

Исследования выполняются в рамках проекта "Матрицы в Pascale"

Проблемный вопрос (вопрос для исследования)

Как с помощью матриц можно решать математические задачи ?

Гипотеза исследования

Мы считаем для того, чтобы, c помощью матриц решать математические задачи необходимо собрать подходящую информацию и правильно применить матрицу.

Цели исследования

  • Понять каким образом матрица применяется в математических задачах.
  • Разобрать примеры матриц в математических задачах.
  • Проанализировать результаты.

Результаты проведённого исследования

из Википедии:

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Матрицы допускают следующие алгебраические операции: 

   * сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
   * умножение матриц подходящего размера;
   * умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. н. скаляр).

Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют векторное поле над соответствующим кольцом или полем. Для квадратных матриц матричное умножение является замкнутой операцией, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют кольцо относительно матричного сложения и матричного умножения.

Матрица представляет собой матрицу некоторого линейного оператора: свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.

В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.

Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают, например, устойчивостью.


Решение задач рассмотрим на следующем примере:

Найти среднее арифметическое элементов матрицы X(n,m), и сформировать вектор Y из элементов больших среднего арифметического. Матрицу формируем целыми числами в интервале от 0 до 10.

Решение:Задача

Источник — «https://wiki.mininuniver.ru/index.php?title=Результаты_исследования_учащихся_в_проекте_матрицы_в_Pascale&oldid=18372»