Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

Авторы и участники проекта

• Бычков Александр
• Вронская Наталья

участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

Тема исследования группы

Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта "Специфические приемы решения уравнений"

Проблемный вопрос (вопрос для исследования)

Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

Гипотеза исследования

Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

Цели исследования

1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

Результаты проведённого исследования

В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно. В результате нами был собран обширный материал.

Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax² + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b² – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x₁ и x₂:

x_1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y² + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b² – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y_1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x_1,2 сравнить с корнями y_1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

Пример 1.

Решить уравнение 6x² – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y² – 7y – 3 · 6 = 0;

y² – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y₁ = 9; y₂ = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y_1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x₁ = 9/6; x₂ = -2/6.

После сокращения будем иметь x₁ = 1,5; x₂ = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

Пример 2.

Решить уравнение 4x² – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x₁ = 20/4; x₂ = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x₁ = 5; x₂ = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

Свойства коэффициентов приведенного квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x₁ = 1, x₂ = c/a.

Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то x₁ = -1, x₂ = -c/a.

Пример 1.

Решить уравнение 19x² + 15x – 34 = 0

Здесь а = 19, b = 15, c = -34

Проверим, будет ли а + b + c = 0?

а + b + c = 19 + 15 + (-34) = 0

Можем применить свойство 1:

x₁ = 1, x₂ = -34/19.

Ответ: 1; -34/19.

Пример 2.

341x² + 290x - 51 = 0

Решение:

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию свойства 2:

341 + (-51) = 290. Получим а + с = b.

Следовательно, мы можем воспользоваться свойством 2.

x₁ = -1 и х₂ = 51/341

Ответ: -1; 51/341.

Полезные ресурсы

Решение квадратных уравнений методом переброски

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Учебник по вики

Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"

Программы для построения карт знаний