Результаты исследования учащихся в проекте Моделирование как метод познания

Авторы и участники проекта

Афанасенко Кристина, Кондрашина Елена

Тема исследования группы

Экологические проблемы

Проблемный вопрос (вопрос для исследования)

Как моделирование помогает в решении экологических проблем?

Гипотеза исследования

Мы считаем, что с помощью моделирования можно контролировать популяцию редких видов животных.

Цели исследования

• Рассмотреть моделирование на примере программы Microsoft Excel
• Для решения задачи выполнить её постановку, создать модель.

Результаты проведённого исследования

       Моделирование динамики популяции становится более сложной задачей, если попытаться учесть реальные взаимоотношения между видами. Это впервые сделал американский ученый А.Дж. Лотка (A.J. Lotka) в 1925 г., а в 1926 г. независимо от него и более подробно - итальянский ученый В. Вольтерра  (V. Volterra). В модели, известной сейчас как Уравнение Лотка-Вольтерра, рассматривается взаимодействие двух популяций - хищника и жертвы. Численность популяции жертвы N1 будет изменяться во времени (завися также от численности популяции хищника N2) по такому уравнению:

где N1 - численность популяции жертвы, N2 - численность популяции хищника, r1 - скорость увеличения популяции жертвы (т.е. рождаемость), p1 - коэффициент хищничества для жертвы (вероятность того, что при встрече с хищником жертва будет съедена).

       Таким образом, увеличение численности жертвы в единицу времени (выражение слева от знака равенства и есть изменеие численности dN1 за единицу времени dt) происходит за счет рождения новых особей (скорость размножения на количество особей), а убыль - за счет съедения хищниками (эта величина пропорциональна численность жертвы, т.к. чем больше, тем выше вероятность встречи с хищником, численности самого хищника и вероятности того, что жертва при этой встрече погибнет p1).

Прирост популяции хищника описывается таким уравнением: где N1 - численность популяции жертвы, N2 - численность популяции хищника, d2 - смертность хищника, p2 - коэффициент хищничества (некая величина, указывающая на "доход", полученный хищником при поедании жертвы). Рост популяции хищника в единицу времени пропорционален качеству питания (подразумевается, что именно питанием ограничивается рождаемость хищника, хотя явно это нигде не указано), а убыль происходит за счет естественной смертности.

       Попробуем при помощи электронной таблицы Excel смоделировать динамику численности двух популяций, выбрав такие значения констант:

r1 = 0,1 p1 = 0,001 d2 = 0,05 p2 = 0,00005 (выбранные значения можно будет поменять, но это уже следующий уровень сложности работы).

      Создайте новую книгу, в которой на первом листе будут три столбца - номер поколения, численности жертвы и хищника (см. рис. справа). Введите номер поколения (естественно, 1), а также начальную численности жертв (1000 особей) и хищников (100 особей). Чтобы не нумеровать поколения вручную (а заодно потренироваться в ведении формул в ячейки таблицы), поступим так:

В ячейке А3 (под единицей) кликнем левой кнопкой мыши (активизируем ее) и введем =A2+1 и нажмем [Enter]. (т.е. в этой ячейке значение будет на единицу больше, чем в предыдущей). Теперь к квадратику в правом нижнем углу активной ячейки (А3) подведем курсор мыши, и тогда он примет вид крестика. Нажав левую кнопку мыши, растянем эту ячейку вниз на столько поколений, на сколько сочтете нужным. Теперь введем в ячейку В3 формулу Уравнения Лотка-Вольтерра для жертвы (вместо значений N1 и N2 пользуемся номерами ячеек, в которых они находятся - В2 и С2 соответственно, а цифровые значения - из таблицы выше):

      =0,1*B2-0,001*B2*C2+B2 и нажмем [Enter]

(появление еще одного слагаемого, B2, связано с тем, что формула показывает изменение начальной численности, т.о. чтобы получить количество особей второго поколения, необходимо прибавить к выражению численность предыдущего поколения).

        Теперь к квадратику в правом нижнем углу активной ячейки (В3) подведем курсор мыши (он опять примет вид крестика) и, нажав левую кнопку, растянем и эту ячейку вниз на столько поколений, на сколько сочтете нужным. При этом численность жертвы начнет экспоненциально возрастать, т.к. во всех поколениях, кроме первого (по мнению программы), хищников нет.

Теперь введем в ячейку С3 формулу для хищника (также вместо значений N1 и N2 пользуемся номерами ячеек В2 и С2 и цифровыми значениями из таблицы выше):

      =0,00005*B2*C2 - 0,05*C2+C2 и нажмем [Enter]
      Теперь снова растянем активную ячейку (С3) на выбранное число поколений.

Вы видите, что численности установятся на исходных значениях 1000 и 100 особей соответственно, т.е. популяции находятся в равновесии. Разбалансируем систему. Для этого изменим, например, численность жертвы (кликнув на ячейке В2, введем в строке формул новое значение - например, 500 и нажмем [Enter]). Программа сама пересчитает значения во всех ячейках, и появятся колебания численности обоих видов.

Остается представить результат в виде графика. Для этого выделяем столбцы В и С (достаточно провести по их заголовкам с буквами нажатой левой кнопкой мыши), и нажимаем на иконку "Диаграмма" на панели инструментов (или пункт меню Вставка - Диаграмма). В открывшемся диалоговом окне выбираем График и соглашаемся с предлагаемым по умолчанию графиком с маркерами. После нескольких Далее> без возражений соглашаемся с Готово и рассматриваем результат. Динамика численности есть, но нагляднее было бы представить значения численности обеих популяций в согласованных величинах.

Для этого кликните мышкой по любому значению численности хищника, и в открывшемся окне (Формат ряда данных) выберите закладку Ось, а в ней в "Построить ряд" выберите "По вспомогательной оси" и нажмите ОК. Если было просмотрено много поколений (100-200), согласованные колебания численности будут хорошо видны на графике. Если поколений маловато, можно повторить процедуры растягивания всех трех столбцов еще на ряд поколений, активизировав по очереди нижние ячейки каждого и растягивая мышкой за правый нижний угол.

В результате у автора получился такой файл с моделью динамики популяций