Результаты исследования учащихся в проекте матрицы в Pascale

Авторы и участники проекта

Кудряшова Екатерина, Поломошнова Екатерина и участники группы "Математики"

Тема исследования группы

Математические задачи

Исследования выполняются в рамках проекта "Матрицы в Pascale"

Проблемный вопрос (вопрос для исследования)

Как с помощью матриц можно решать математические задачи ?

Гипотеза исследования

Мы считаем для того, чтобы, c помощью матриц решать математические задачи необходимо собрать подходящую информацию и правильно применить матрицу.

Цели исследования

• Понять каким образом матрица применяется в математических задачах.
• Разобрать примеры матриц в математических задачах.
• Проанализировать результаты.

Результаты проведённого исследования

из Википедии:

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Систему из <math>m</math> уравнений с <math>n</math> неизвестными

<math>\begin{cases}

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\

a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m

\end{cases}</math>

можно представить в матричном виде

<math>A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ;\quad X = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ;\quad B = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}</math>

и тогда всю систему можно записать так:

<math>AX = B</math>,

где <math>A</math> имеет смысл таблицы коэффициентов <math>a_{ij}</math> системы уравнений.

Если <math>m = n</math> и матрица <math>A</math> невырожденная, то решение этого уравнения состоит в нахождении обратной матрицы <math>A^{-1}</math>, поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева

<math>A^{-1}AX = A^{-1}B</math>

<math>A^{-1}A</math> — превращается в <math>E</math> (единичную матрицу). И это даёт возможность получить столбец корней уравнений

<math>X = A^{-1}B</math>.

Все правила, по которым проводятся операции над матрицами, выводятся из операций над системами уравнений.