Математическое моделирование: различия между версиями

Материал из Wiki Mininuniver
Перейти к навигацииПерейти к поиску
(Новая страница: «Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процесс…»)
 
 
(не показано 8 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала.
+
'''Математическая модель''' является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала.
  
Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.
+
'''Математические модели''' в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.
  
Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.
+
'''Математическое моделирование''' - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.
 +
'''Виды моделирования'''
  
+
*Информационное моделирование
 +
*Компьютерное моделирование
 +
*Математическое моделирование
 +
*Математико-картографическое моделирование
 +
*Молекулярное моделирование
 +
*Цифровое моделирование
 +
*Логическое моделирование
 +
*Педагогическое моделирование
 +
*Психологическое моделирование
 +
*Статистическое моделирование
 +
*Структурное моделирование
 +
*Физическое моделирование
 +
*Экономико-математическое моделирование
 +
*Имитационное моделирование
 +
*Эволюционное моделирование
 +
'''ИНФОРМАЦИОННОЕ'''
 +
В своей деятельности человек повсеместно использует модели, то есть создает образ, копию того объекта, с которым ему приходится иметь дело. Продумывая план действий, представляя результат своих действий, человек строит модель на уровне мысли.
 +
Модель - это искусственно созданный объект, дающий упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении, отражающий существенные стороны изучаемого объекта с точки зрения цели моделирования. Моделирование - это построение моделей, предназначенных для изучения и исследования объектов, процессов или явлений.
 +
Объект, для которого создается модель, называют оригиналом или прототипом. Любая модель не является абсолютной копией своего оригинала, она лишь отражает некоторые его качества и свойства, наиболее существенные для выбранной цели исследования. При создании модели всегда присутствуют определенные допущения и гипотезы.
 +
Системный подход позволяет создавать полноценные модели. Особенности системного подхода заключаются в следующем. Изучаемый объект рассматривается как система, описание и исследование элементов которой не выступает как сама цель, а выполняется с учетом их места (наличие подзадач). В целом объект не отделяется от условий его существования и функционирования. Объект рассматривается как составная часть чего-то целого (сам является подзадачей). Один и тот же исследуемый элемент рассматривается как обладающий разными характеристиками, функциями и даже принципами построения. При системном подходе на первое место выступают не только причинные объяснения функционирования объекта, но и целесообразность включения его в состав других элементов. Допускается возможность наличия у объекта множества индивидуальных характеристик и степеней свободы. Альтернативы решения задач сравниваются в первую очередь по критерию "стоимость-эффективность".
  
Этапы и принципы построения математических моделей
+
'''КОМПЬЮТЕРНОЕ'''
 +
Создание универсальных моделей - это следствие использование системного подхода.
 +
Моделирование (эксперимент) может быть незаменимо. Мы не можем, например, устроить ядерную катастрофу, чтобы выяснить масштабы возможного заражения, а с помощью компьютера возможен расчет (и достаточно точный) интересующих исследователей параметров.
 +
Моделирование - исследование явлений, процессов или систем объектов путем построения и изучения их моделей - это основной способ научного познания. В информатике данный способ называется вычислительный эксперимент и основывается он на трех основных понятиях: модель - алгоритм - программа. Использование компьютера при моделировании возможно по трем направлениям:
 +
1. Вычислительное - прямые расчеты по программе.
 +
2. Инструментальное - построение базы знаний, для преобразования ее в алгоритм и программу.
 +
3. Диалоговое - поддержание интерфейса между исследователем и компьютером.
 +
 
 +
'''ФИЗИЧЕСКОЕ'''
 +
Метод экспериментального изучения различных физических явлений, основанный на их физическом подобии.
 +
Метод применяется при следующих условиях: Исчерпывающе точного математического описания явления на данном уровне развития науки не существует, или такое описание слишком громоздко и требует для расчётов большого объёма исходных данных, получение которых затруднительно.
 +
Воспроизведение исследуемого физического явления в целях эксперимента в реальных масштабах невозможно, нежелательно, или слишком дорогостояще. (Например, цунами) Некоторые примеры применения метода физического моделирования:
 +
Исследование течений газов и обтекания летательных аппаратов, автомобилей, и т.п. в аэродинамических трубах.
 +
Гидродинамические исследования на уменьшенных моделях кораблей, гидротехнических сооружений и т.п.
 +
Исследование сейсмоустойчивости зданий и сооружений на этапе проектирования.
 +
Изучение устойчивости сложных конструкций, под воздействием сложных силовых нагрузок.
 +
Измерение тепловых потоков и рассеивания тепла в устройствах и системах, работающих в условиях больших тепловых нагрузок.
 +
Изучение стихийных явлений и их последствий.
 +
 
 +
'''МАТЕМАТИЧЕСКОЕ'''
 +
Это модель, созданная с помощью математических понятий.
 +
Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей.
 +
Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его моделью и затем изучают последнюю.
 +
 
 +
'''ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ'''
 +
Разработка и создание формальной модели педагогического процесса или его составляющих, отражающей основные идеи, методы, формы, средства, приемы и технологические решения, которые подлежат в дальнейшем экспериментальному изучению в условиях реального педагогического процесса. ПСИХОЛОГИЧЕСКОЕ Создание формальной модели психического или социально-психологического процесса, т.е. формализованной абстракции данного процесса, воспроизводящей его некоторые основные, ключевые, по мнению данного исследователя, моменты с целью его экспериментального изучения либо с целью экстраполяции сведений о нём на то, что исследователь считает частными случаями данного процесса.
 +
В настоящее время в психологии всё чаще используются модели, основанные на вероятностно-статистической оценке явлений и алгоритмическом подходе.
 +
 
 +
'''ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ'''
 +
(один из разделов математических методов в экономике, наравне с эконометрикой) — сфера научной и практической деятельности, целью которой является математически формализованное описание экономических объектов, процессов и явлений.
 +
Математика как основа теории принятия решений широко применяется для управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами и процессами. Например, прогнозы социально-экономического развития РФ, разрабатываемые МЭРТ, основаны на математическом анализе ретроспективных показателей (динамики инфляции, ВВП и т. д.) и строятся с применением таких разделов эконометрики и прикладной статистики, как корреляционный анализ, регрессионный анализ, метод главных компонент, факторный анализ и т. д.
 +
Новым направлением в современной экономической науке является реализация так называемого экономического эксперимента, суть которого заключается в математическом моделировании экономических ситуаций с учётом психологического фактора (ожиданий участников рынка).
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''''Этапы и принципы построения математических моделей'''''
  
 
Процесс разработки математических моделей состоит из следующих этапов:
 
Процесс разработки математических моделей состоит из следующих этапов:
Строка 22: Строка 79:
  
 
-        практическое использование, т.е. перенос полученных с помощью модели знаний на исследуемый объект или процесс.
 
-        практическое использование, т.е. перенос полученных с помощью модели знаний на исследуемый объект или процесс.
 +
[[Изображение:Буклет Борисов и Косов1.jpg|500px]]
 +
[[Изображение:Буклет Борисов и Косов2.jpg|500px]]
 +
 +
В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Наконец, если исходить из общих задач моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:
 +
 +
    1. дескриптивные  (описательные)  модели;
 +
    2. оптимизационные модели;
 +
    3. многокритериальные модели;
 +
    4. игровые модели.
 +
 +
Еще один подход к классификации математических моделей подразделяет их на детерминированные и стохастические (вероятностные).
 +
В детерминированных моделях входные параметры поддаются измерению однозначно и с любой степенью точности, т.е. являются детерминированными величинами.Соответственно, процесс эволюции такой системы детерминирован.
 +
В стохастических моделях значения входных параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются стохастическими; соответственно, случайным будет и процесс эволюции системы. При этом, выходные параметры стохастической модели могут быть как величинами вероятностными, так и однозначно определяемыми.
 +
 +
Наконец, если ограничиться непрерывными детерминистскими моделями, то их часто подразделяют на системы с сосредоточенными параметрами и системы с распределенными параметрами. Системы с сосредоточенными параметрами описываются с помощью конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений для зависящих от времени переменных. Пространство состояний имеет здесь конечную размерность (число степеней свободы системы конечно). В противоположность этому под системами с распределенными параметрами понимают системы, описываемые конечным числом дифференциальных уравнений в частных производных. Здесь переменные состояния в каждый момент времени есть функции одной или нескольких пространственных переменных. Пространство состояний имеет в этом случае бесконечную размерность, т.е. система обладает бесконечным числом степеней свободы.
 +
== Полезные ресурсы ==
 +
 +
 +
[http://koi.tspu.ru/koi_books/gazizov/l7p01.htm Компьютерное и математическое моделирование]
 +
 +
[http://www.shapovalov.org/load/8-1-0-45 Математическое и компьютерное моделирование ]
 +
 +
[http://bourabai.ru/library/mcm11.pdf  Лекция: Математическое и компьютерное моделирование]
 +
 +
[http://www.inf1.info/book/export/html/215 Компьютерное моделирование]
 +
 +
== Проекты с аналогичной тематикой ==
 +
[http://wiki.iteach.ru/index.php/%22%D0%92%D0%B5%D1%81%D1%8C_%D0%BC%D0%B8%D1%80_%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BD%D0%B8%22#.D0.92.D0.BE.D0.BF.D1.80.D0.BE.D1.81.D1.8B.2C_.D0.BD.D0.B0.D0.BF.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.BB.D1.8F.D1.8E.D1.89.D0.B8.D0.B5_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D0.B5.D0.BA.D1.82 "Весь мир на одной ладони"]

Текущая версия на 12:39, 10 января 2017

Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала.

Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.

Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.

Виды моделирования
  • Информационное моделирование
  • Компьютерное моделирование
  • Математическое моделирование
  • Математико-картографическое моделирование
  • Молекулярное моделирование
  • Цифровое моделирование
  • Логическое моделирование
  • Педагогическое моделирование
  • Психологическое моделирование
  • Статистическое моделирование
  • Структурное моделирование
  • Физическое моделирование
  • Экономико-математическое моделирование
  • Имитационное моделирование
  • Эволюционное моделирование

ИНФОРМАЦИОННОЕ В своей деятельности человек повсеместно использует модели, то есть создает образ, копию того объекта, с которым ему приходится иметь дело. Продумывая план действий, представляя результат своих действий, человек строит модель на уровне мысли. Модель - это искусственно созданный объект, дающий упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении, отражающий существенные стороны изучаемого объекта с точки зрения цели моделирования. Моделирование - это построение моделей, предназначенных для изучения и исследования объектов, процессов или явлений. Объект, для которого создается модель, называют оригиналом или прототипом. Любая модель не является абсолютной копией своего оригинала, она лишь отражает некоторые его качества и свойства, наиболее существенные для выбранной цели исследования. При создании модели всегда присутствуют определенные допущения и гипотезы. Системный подход позволяет создавать полноценные модели. Особенности системного подхода заключаются в следующем. Изучаемый объект рассматривается как система, описание и исследование элементов которой не выступает как сама цель, а выполняется с учетом их места (наличие подзадач). В целом объект не отделяется от условий его существования и функционирования. Объект рассматривается как составная часть чего-то целого (сам является подзадачей). Один и тот же исследуемый элемент рассматривается как обладающий разными характеристиками, функциями и даже принципами построения. При системном подходе на первое место выступают не только причинные объяснения функционирования объекта, но и целесообразность включения его в состав других элементов. Допускается возможность наличия у объекта множества индивидуальных характеристик и степеней свободы. Альтернативы решения задач сравниваются в первую очередь по критерию "стоимость-эффективность".

КОМПЬЮТЕРНОЕ Создание универсальных моделей - это следствие использование системного подхода. Моделирование (эксперимент) может быть незаменимо. Мы не можем, например, устроить ядерную катастрофу, чтобы выяснить масштабы возможного заражения, а с помощью компьютера возможен расчет (и достаточно точный) интересующих исследователей параметров. Моделирование - исследование явлений, процессов или систем объектов путем построения и изучения их моделей - это основной способ научного познания. В информатике данный способ называется вычислительный эксперимент и основывается он на трех основных понятиях: модель - алгоритм - программа. Использование компьютера при моделировании возможно по трем направлениям: 1. Вычислительное - прямые расчеты по программе. 2. Инструментальное - построение базы знаний, для преобразования ее в алгоритм и программу. 3. Диалоговое - поддержание интерфейса между исследователем и компьютером.

ФИЗИЧЕСКОЕ Метод экспериментального изучения различных физических явлений, основанный на их физическом подобии. Метод применяется при следующих условиях: Исчерпывающе точного математического описания явления на данном уровне развития науки не существует, или такое описание слишком громоздко и требует для расчётов большого объёма исходных данных, получение которых затруднительно. Воспроизведение исследуемого физического явления в целях эксперимента в реальных масштабах невозможно, нежелательно, или слишком дорогостояще. (Например, цунами) Некоторые примеры применения метода физического моделирования: Исследование течений газов и обтекания летательных аппаратов, автомобилей, и т.п. в аэродинамических трубах. Гидродинамические исследования на уменьшенных моделях кораблей, гидротехнических сооружений и т.п. Исследование сейсмоустойчивости зданий и сооружений на этапе проектирования. Изучение устойчивости сложных конструкций, под воздействием сложных силовых нагрузок. Измерение тепловых потоков и рассеивания тепла в устройствах и системах, работающих в условиях больших тепловых нагрузок. Изучение стихийных явлений и их последствий.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ Это модель, созданная с помощью математических понятий. Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его моделью и затем изучают последнюю.

ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ Разработка и создание формальной модели педагогического процесса или его составляющих, отражающей основные идеи, методы, формы, средства, приемы и технологические решения, которые подлежат в дальнейшем экспериментальному изучению в условиях реального педагогического процесса. ПСИХОЛОГИЧЕСКОЕ Создание формальной модели психического или социально-психологического процесса, т.е. формализованной абстракции данного процесса, воспроизводящей его некоторые основные, ключевые, по мнению данного исследователя, моменты с целью его экспериментального изучения либо с целью экстраполяции сведений о нём на то, что исследователь считает частными случаями данного процесса. В настоящее время в психологии всё чаще используются модели, основанные на вероятностно-статистической оценке явлений и алгоритмическом подходе.

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ (один из разделов математических методов в экономике, наравне с эконометрикой) — сфера научной и практической деятельности, целью которой является математически формализованное описание экономических объектов, процессов и явлений. Математика как основа теории принятия решений широко применяется для управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами и процессами. Например, прогнозы социально-экономического развития РФ, разрабатываемые МЭРТ, основаны на математическом анализе ретроспективных показателей (динамики инфляции, ВВП и т. д.) и строятся с применением таких разделов эконометрики и прикладной статистики, как корреляционный анализ, регрессионный анализ, метод главных компонент, факторный анализ и т. д. Новым направлением в современной экономической науке является реализация так называемого экономического эксперимента, суть которого заключается в математическом моделировании экономических ситуаций с учётом психологического фактора (ожиданий участников рынка).



Этапы и принципы построения математических моделей

Процесс разработки математических моделей состоит из следующих этапов:

- формулирование проблемы;

- определение цели моделирования;

- организация и проведение исследования предметной области (исследование свойств объекта моделирования);

- разработка модели;

- проверка ее точности и соответствия реальности;

- практическое использование, т.е. перенос полученных с помощью модели знаний на исследуемый объект или процесс. Буклет Борисов и Косов1.jpg Буклет Борисов и Косов2.jpg

В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Наконец, если исходить из общих задач моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:

   1. дескриптивные  (описательные)  модели;
   2. оптимизационные модели;
   3. многокритериальные модели;
   4. игровые модели.

Еще один подход к классификации математических моделей подразделяет их на детерминированные и стохастические (вероятностные). В детерминированных моделях входные параметры поддаются измерению однозначно и с любой степенью точности, т.е. являются детерминированными величинами.Соответственно, процесс эволюции такой системы детерминирован. В стохастических моделях значения входных параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются стохастическими; соответственно, случайным будет и процесс эволюции системы. При этом, выходные параметры стохастической модели могут быть как величинами вероятностными, так и однозначно определяемыми.

Наконец, если ограничиться непрерывными детерминистскими моделями, то их часто подразделяют на системы с сосредоточенными параметрами и системы с распределенными параметрами. Системы с сосредоточенными параметрами описываются с помощью конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений для зависящих от времени переменных. Пространство состояний имеет здесь конечную размерность (число степеней свободы системы конечно). В противоположность этому под системами с распределенными параметрами понимают системы, описываемые конечным числом дифференциальных уравнений в частных производных. Здесь переменные состояния в каждый момент времени есть функции одной или нескольких пространственных переменных. Пространство состояний имеет в этом случае бесконечную размерность, т.е. система обладает бесконечным числом степеней свободы.

Полезные ресурсы

Компьютерное и математическое моделирование

Математическое и компьютерное моделирование

Лекция: Математическое и компьютерное моделирование

Компьютерное моделирование

Проекты с аналогичной тематикой

"Весь мир на одной ладони"