Wiki Mininuniver - Вклад участника [ru]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-23T12:48:09Z

Александр777: /* Проблемный вопрос (вопрос для исследования) */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных квадратных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

'''Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

''Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = c/a.

''Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a.

''Пример 1.

Решить уравнение 19x2 + 15x – 34 = 0

Здесь а = 19, b = 15, c = -34

Проверим, будет ли а + b + c = 0?

а + b + c = 19 + 15 + (-34) = 0

Можем применить свойство 1:

x1 = 1, x2 = -34/19.

Ответ: 1; -34/19.

''Пример 2.

341x2 + 290x - 51 = 0

Решение:

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию свойства 2:

341 + (-51) = 290. Получим а + с = b.

Следовательно, мы можем воспользоваться свойством 2.

x1 = -1 и х2 = 51/341

Ответ: -1; 51/341.

Также нами для учащихся была разработана одна из веток интеллект-карты, по которой можно отследить найденные способы быстрого нахождения корней квадратного уравнения:

[https://www.mindomo.com/mindmap/32f928306fb24a1ba16e0d095e48170a| Интеллект-карта приемов решения уравнений]

==Вывод==

Как нами было выяснено, во многих ситуациях непременно может пригодится умение решать квадратные уравнения. Традиционно данные уравнения решаются через дискриминант. Приведенные уравнения решаются по теореме Виета. В процессе нашей работы над данной темой мы получили крайне важные результаты, которые позволили нам сводить неприведенные квадратные уравнения к приведенным и решать их проще. Хочется также отметить, что разработанный материал будет полезен учащимся нашего класса и ученикам, желающим решать квадратные уравнения более простыми способами.

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений]]

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-22T20:34:53Z

Александр777: /* Вывод */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

'''Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

''Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = c/a.

''Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a.

''Пример 1.

Решить уравнение 19x2 + 15x – 34 = 0

Здесь а = 19, b = 15, c = -34

Проверим, будет ли а + b + c = 0?

а + b + c = 19 + 15 + (-34) = 0

Можем применить свойство 1:

x1 = 1, x2 = -34/19.

Ответ: 1; -34/19.

''Пример 2.

341x2 + 290x - 51 = 0

Решение:

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию свойства 2:

341 + (-51) = 290. Получим а + с = b.

Следовательно, мы можем воспользоваться свойством 2.

x1 = -1 и х2 = 51/341

Ответ: -1; 51/341.

Также нами для учащихся была разработана одна из веток интеллект-карты, по которой можно отследить найденные способы быстрого нахождения корней квадратного уравнения:

[https://www.mindomo.com/mindmap/32f928306fb24a1ba16e0d095e48170a| Интеллект-карта приемов решения уравнений]

==Вывод==

Как нами было выяснено, во многих ситуациях непременно может пригодится умение решать квадратные уравнения. Традиционно данные уравнения решаются через дискриминант. Приведенные уравнения решаются по теореме Виета. В процессе нашей работы над данной темой мы получили крайне важные результаты, которые позволили нам сводить неприведенные квадратные уравнения к приведенным и решать их проще. Хочется также отметить, что разработанный материал будет полезен учащимся нашего класса и ученикам, желающим решать квадратные уравнения более простыми способами.

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений]]

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-22T20:34:21Z

Александр777: /* Другие документы */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

'''Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

''Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = c/a.

''Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a.

''Пример 1.

Решить уравнение 19x2 + 15x – 34 = 0

Здесь а = 19, b = 15, c = -34

Проверим, будет ли а + b + c = 0?

а + b + c = 19 + 15 + (-34) = 0

Можем применить свойство 1:

x1 = 1, x2 = -34/19.

Ответ: 1; -34/19.

''Пример 2.

341x2 + 290x - 51 = 0

Решение:

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию свойства 2:

341 + (-51) = 290. Получим а + с = b.

Следовательно, мы можем воспользоваться свойством 2.

x1 = -1 и х2 = 51/341

Ответ: -1; 51/341.

Также нами для учащихся была разработана одна из веток интеллект-карты, по которой можно отследить найденные способы быстрого нахождения корней квадратного уравнения:

[https://www.mindomo.com/mindmap/32f928306fb24a1ba16e0d095e48170a| Интеллект-карта приемов решения уравнений]

==Вывод==

Как было нами выяснено, во многих ситуациях непременно может пригодится умение решать квадратные уравнения. Традиционно данные уравнения решаются через дискриминант. Приведенные уравнения решаются по теореме Виета. В процессе нашей работы над данной темой мы получили крайне важные результаты, которые позволили нам сводить неприведенные квадратные уравнения к приведенным и решать их проще. Хочется также отметить, что разработанный материал будет полезен учащимся нашего класса и ученикам, желающим решать квадратные уравнения более простыми способами.

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений]]

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-22T20:31:53Z

Александр777: /* Вывод */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

'''Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

''Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = c/a.

''Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a.

''Пример 1.

Решить уравнение 19x2 + 15x – 34 = 0

Здесь а = 19, b = 15, c = -34

Проверим, будет ли а + b + c = 0?

а + b + c = 19 + 15 + (-34) = 0

Можем применить свойство 1:

x1 = 1, x2 = -34/19.

Ответ: 1; -34/19.

''Пример 2.

341x2 + 290x - 51 = 0

Решение:

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию свойства 2:

341 + (-51) = 290. Получим а + с = b.

Следовательно, мы можем воспользоваться свойством 2.

x1 = -1 и х2 = 51/341

Ответ: -1; 51/341.

Также нами для учащихся была разработана одна из веток интеллект-карты, по которой можно отследить найденные способы быстрого нахождения корней квадратного уравнения:

[https://www.mindomo.com/mindmap/32f928306fb24a1ba16e0d095e48170a| Интеллект-карта приемов решения уравнений]

==Вывод==

Как было нами выяснено, во многих ситуациях непременно может пригодится умение решать квадратные уравнения. Традиционно данные уравнения решаются через дискриминант. Приведенные уравнения решаются по теореме Виета. В процессе нашей работы над данной темой мы получили крайне важные результаты, которые позволили нам сводить неприведенные квадратные уравнения к приведенным и решать их проще. Хочется также отметить, что разработанный материал будет полезен учащимся нашего класса и ученикам, желающим решать квадратные уравнения более простыми способами.

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-22T20:31:12Z

Александр777: /* Вывод */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

'''Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

''Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = c/a.

''Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a.

''Пример 1.

Решить уравнение 19x2 + 15x – 34 = 0

Здесь а = 19, b = 15, c = -34

Проверим, будет ли а + b + c = 0?

а + b + c = 19 + 15 + (-34) = 0

Можем применить свойство 1:

x1 = 1, x2 = -34/19.

Ответ: 1; -34/19.

''Пример 2.

341x2 + 290x - 51 = 0

Решение:

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию свойства 2:

341 + (-51) = 290. Получим а + с = b.

Следовательно, мы можем воспользоваться свойством 2.

x1 = -1 и х2 = 51/341

Ответ: -1; 51/341.

Также нами для учащихся была разработана одна из веток интеллект-карты, по которой можно отследить найденные способы быстрого нахождения корней квадратного уравнения:

[https://www.mindomo.com/mindmap/32f928306fb24a1ba16e0d095e48170a| Интеллект-карта приемов решения уравнений]

==Вывод==

Как было нами выяснено, во многих ситуациях непременно может пригодится умение решать квадратные уравнения. Традиционно данные уравнения решаются через дискриминант. Приведенные уравнения решаются по теореме Виета. В процессе нашей работы над данной темой мы получили крайне важные результаты, которые позволили нам сводить неприведенные квадратные уравнения к приведенным и решать их более. Хочется также отметить, что разработанный материал будет полезен учащимся нашего класса и ученикам, желающим решать квадратные уравнения более простыми способами.

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-22T20:20:29Z

Александр777: /* Материалы по формирующему и итоговому оцениванию */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]
[[Изображение:Буклет Уравнения1.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

[https://docs.google.com/forms/d/1dZxQwdfxcmHCfC1itaRX2zYBPbn1lpJ4t1RPEDluMPg/edit?usp=sharing| Самооценка учащихся перед началом проекта]

[https://docs.google.com/forms/d/1ezJ2Bgkvqolt_Sv8XkpWWqpOjKfQ6B-LtND0Wawy_yw/edit?usp=sharing| Анкета самооценки работы ученика после проекта]

[https://drive.google.com/file/d/1ZdXZM9h8knFeQkvVRu_hAq1nzyV35CL5/view?usp=sharing| Критерии оценки вики-статьи и работы над ментальной картой]

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

[[Учебный проект Квадратные уравнения]]

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-22T20:19:40Z

Александр777: /* Материалы по формирующему и итоговому оцениванию */

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-22T20:17:40Z

Александр777: /* Проекты с аналогичной тематикой */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]
[[Изображение:Буклет Уравнения1.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

[https://docs.google.com/forms/d/1dZxQwdfxcmHCfC1itaRX2zYBPbn1lpJ4t1RPEDluMPg/edit?usp=sharing| Самооценка учащихся перед началом проекта]

[https://docs.google.com/forms/d/1ezJ2Bgkvqolt_Sv8XkpWWqpOjKfQ6B-LtND0Wawy_yw/edit?usp=sharing| Анкета самоконтроля]

[https://drive.google.com/file/d/1ZdXZM9h8knFeQkvVRu_hAq1nzyV35CL5/view?usp=sharing| Критерии оценки вики-статьи и работы над ментальной картой]

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

[[Учебный проект Квадратные уравнения]]

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-22T20:16:47Z

Александр777: /* Проекты с аналогичной тематикой */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]
[[Изображение:Буклет Уравнения1.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

[https://docs.google.com/forms/d/1dZxQwdfxcmHCfC1itaRX2zYBPbn1lpJ4t1RPEDluMPg/edit?usp=sharing| Самооценка учащихся перед началом проекта]

[https://docs.google.com/forms/d/1ezJ2Bgkvqolt_Sv8XkpWWqpOjKfQ6B-LtND0Wawy_yw/edit?usp=sharing| Анкета самоконтроля]

[https://drive.google.com/file/d/1ZdXZM9h8knFeQkvVRu_hAq1nzyV35CL5/view?usp=sharing| Критерии оценки вики-статьи и работы над ментальной картой]

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

[https://wiki.mininuniver.ru/index.php/Учебный_проект_Квадратные_уравнения| Учебный проект Квадратные уравнения]

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-22T20:15:45Z

Александр777: /* Проекты с аналогичной тематикой */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]
[[Изображение:Буклет Уравнения1.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

[https://docs.google.com/forms/d/1dZxQwdfxcmHCfC1itaRX2zYBPbn1lpJ4t1RPEDluMPg/edit?usp=sharing| Самооценка учащихся перед началом проекта]

[https://docs.google.com/forms/d/1ezJ2Bgkvqolt_Sv8XkpWWqpOjKfQ6B-LtND0Wawy_yw/edit?usp=sharing| Анкета самоконтроля]

[https://drive.google.com/file/d/1ZdXZM9h8knFeQkvVRu_hAq1nzyV35CL5/view?usp=sharing| Критерии оценки вики-статьи и работы над ментальной картой]

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==
[https://wiki.mininuniver.ru/index.php/Учебный_проект_Квадратные_уравнения| Учебный проект Квадратные уравнения]

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-22T19:58:13Z

Александр777: /* Материалы по формирующему и итоговому оцениванию */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]
[[Изображение:Буклет Уравнения1.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

[https://docs.google.com/forms/d/1dZxQwdfxcmHCfC1itaRX2zYBPbn1lpJ4t1RPEDluMPg/edit?usp=sharing| Самооценка учащихся перед началом проекта]

[https://docs.google.com/forms/d/1ezJ2Bgkvqolt_Sv8XkpWWqpOjKfQ6B-LtND0Wawy_yw/edit?usp=sharing| Анкета самоконтроля]

[https://drive.google.com/file/d/1ZdXZM9h8knFeQkvVRu_hAq1nzyV35CL5/view?usp=sharing| Критерии оценки вики-статьи и работы над ментальной картой]

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-22T19:57:09Z

Александр777: /* Материалы по формирующему и итоговому оцениванию */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]
[[Изображение:Буклет Уравнения1.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

[https://docs.google.com/forms/d/1dZxQwdfxcmHCfC1itaRX2zYBPbn1lpJ4t1RPEDluMPg/edit?usp=sharing| Самооценка учащихся перед началом проекта]

[https://docs.google.com/forms/d/1ezJ2Bgkvqolt_Sv8XkpWWqpOjKfQ6B-LtND0Wawy_yw/edit?usp=sharing| Анкета самоконтроля]

[https://drive.google.com/open?id=1ZdXZM9h8knFeQkvVRu_hAq1nzyV35CL5| Критерии оценки вики-статьи и работы над ментальной картой]

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-22T19:54:11Z

Александр777: /* Материалы по формирующему и итоговому оцениванию */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]
[[Изображение:Буклет Уравнения1.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

[https://docs.google.com/forms/d/1dZxQwdfxcmHCfC1itaRX2zYBPbn1lpJ4t1RPEDluMPg/edit?usp=sharing| Самооценка учащихся перед началом проекта]

[https://docs.google.com/forms/d/1ezJ2Bgkvqolt_Sv8XkpWWqpOjKfQ6B-LtND0Wawy_yw/edit?usp=sharing| Анкета самоконтроля]

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-22T19:53:58Z

Александр777: /* Материалы по формирующему и итоговому оцениванию */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]
[[Изображение:Буклет Уравнения1.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

[https://docs.google.com/forms/d/1dZxQwdfxcmHCfC1itaRX2zYBPbn1lpJ4t1RPEDluMPg/edit?usp=sharing| Самооценка учащихся перед началом проекта]
[https://docs.google.com/forms/d/1ezJ2Bgkvqolt_Sv8XkpWWqpOjKfQ6B-LtND0Wawy_yw/edit?usp=sharing| Анкета самоконтроля]

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-22T19:28:32Z

Александр777: /* Материалы по формирующему и итоговому оцениванию */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]
[[Изображение:Буклет Уравнения1.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

[https://docs.google.com/forms/d/1ezJ2Bgkvqolt_Sv8XkpWWqpOjKfQ6B-LtND0Wawy_yw/edit?usp=sharing| Анкета самоконтроля]

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-22T19:28:01Z

Александр777: /* Материалы по формирующему и итоговому оцениванию */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]
[[Изображение:Буклет Уравнения1.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

[https://docs.google.com/forms/d/1ezJ2Bgkvqolt_Sv8XkpWWqpOjKfQ6B-LtND0Wawy_yw/edit?usp=sharing|Анкета самоконтроля]

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T23:36:28Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

'''Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

''Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = c/a.

''Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a.

''Пример 1.

Решить уравнение 19x2 + 15x – 34 = 0

Здесь а = 19, b = 15, c = -34

Проверим, будет ли а + b + c = 0?

а + b + c = 19 + 15 + (-34) = 0

Можем применить свойство 1:

x1 = 1, x2 = -34/19.

Ответ: 1; -34/19.

''Пример 2.

341x2 + 290x - 51 = 0

Решение:

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию свойства 2:

341 + (-51) = 290. Получим а + с = b.

Следовательно, мы можем воспользоваться свойством 2.

x1 = -1 и х2 = 51/341

Ответ: -1; 51/341.

Также нами для учащихся была разработана одна из веток интеллект-карты, по которой можно отследить найденные способы быстрого нахождения корней квадратного уравнения:

[https://www.mindomo.com/mindmap/32f928306fb24a1ba16e0d095e48170a| Интеллект-карта приемов решения уравнений]

==Вывод==

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T23:35:38Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

'''Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

''Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = c/a.

''Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a.

''Пример 1.

Решить уравнение 19x2 + 15x – 34 = 0

Здесь а = 19, b = 15, c = -34

Проверим, будет ли а + b + c = 0?

а + b + c = 19 + 15 + (-34) = 0

Можем применить свойство 1:

x1 = 1, x2 = -34/19.

Ответ: 1; -34/19.

''Пример 2.

341x2 + 290x - 51 = 0

Решение:

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию свойства 2:

341 + (-51) = 290. Получим а + с = b.

Следовательно, мы можем воспользоваться свойством 2.

x1 = -1 и х2 = 51/341

Ответ: -1; 51/341.

Также нами для учащихся была разработана одна из веток интеллект-карты, по которой можно отследить найденные способы быстрого нахождения корней квадратного уравнения:
[https://www.mindomo.com/mindmap/32f928306fb24a1ba16e0d095e48170a|Интеллект-карта приемов решения уравнений]

==Вывод==

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T23:26:03Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

'''Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

''Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = c/a.

''Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a.

''Пример 1.

Решить уравнение 19x2 + 15x – 34 = 0

Здесь а = 19, b = 15, c = -34

Проверим, будет ли а + b + c = 0?

а + b + c = 19 + 15 + (-34) = 0

Можем применить свойство 1:

x1 = 1, x2 = -34/19.

Ответ: 1; -34/19.

''Пример 2.

341x2 + 290x - 51 = 0

Решение:

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию свойства 2:

341 + (-51) = 290. Получим а + с = b.

Следовательно, мы можем воспользоваться свойством 2.

x1 = -1 и х2 = 51/341

Ответ: -1; 51/341.

Также нами для учащихся была разработана одна из веток интеллект-карты (), по которой можно отследить найденные способы быстрого нахождения корней квадратного уравнения.

==Вывод==

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-21T22:57:40Z

Александр777:

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]
[[Изображение:Буклет Уравнения1.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-21T22:56:35Z

Александр777: /* Публикация преподавателя */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Визитная карточка проекта ==

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]
[[Изображение:Буклет Уравнения1.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-21T22:56:19Z

Александр777: /* Публикация преподавателя */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Визитная карточка проекта ==

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]
[[Изображение:Буклет Уравнения1.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-21T22:55:59Z

Александр777: /* Публикация преподавателя */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Визитная карточка проекта ==

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]
[[Изображение:Буклет Уравнения1.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Файл:Буклет Уравнения1.png

2018-10-21T22:55:33Z

Александр777:

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-21T22:54:57Z

Александр777: /* Публикация преподавателя */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Визитная карточка проекта ==

== Публикация преподавателя ==

[[Изображение:Буклет Уравнения.png|500px]]

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Файл:Буклет Уравнения.png

2018-10-21T22:53:50Z

Александр777:

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T22:45:07Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

'''Свойства коэффициентов приведенного квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

''Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = c/a.

''Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a.

''Пример 1.

Решить уравнение 19x2 + 15x – 34 = 0

Здесь а = 19, b = 15, c = -34

Проверим, будет ли а + b + c = 0?

а + b + c = 19 + 15 + (-34) = 0

Можем применить свойство 1:

x1 = 1, x2 = -34/19.

Ответ: 1; -34/19.

''Пример 2.

341x2 + 290x - 51 = 0

Решение:

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию свойства 2:

341 + (-51) = 290. Получим а + с = b.

Следовательно, мы можем воспользоваться свойством 2.

x1 = -1 и х2 = 51/341

Ответ: -1; 51/341.

Также нами для учащихся была разработана одна из веток интеллект-карты (), по которой можно отследить найденные способы быстрого нахождения корней квадратного уравнения.

==Вывод==

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T22:41:33Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

'''Свойства коэффициентов приведенного квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

''Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = c/a.

''Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a.

''Пример 1.

Решить уравнение 19x2 + 15x – 34 = 0

Здесь а = 19, b = 15, c = -34

Проверим, будет ли а + b + c = 0?

а + b + c = 19 + 15 + (-34) = 0

Можем применить свойство 1:

x1 = 1, x2 = -34/19.

Ответ: 1; -34/19.

''Пример 2.

341x2 + 290x - 51 = 0

Решение:

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию свойства 2:

341 + (-51) = 290. Получим а + с = b.

Следовательно, мы можем воспользоваться свойством 2.

x1 = -1 и х2 = 51/341

Ответ: -1; 51/341.

==Вывод==

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T22:40:24Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

'''Свойства коэффициентов приведенного квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

''Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = c/a.

''Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a.

''Пример 1.

Решить уравнение 19x2 + 15x – 34 = 0

Здесь а = 19, b = 15, c = -34

Проверим, будет ли а + b + c = 0?

а + b + c = 19 + 15 + (-34) = 0

Можем применить свойство 1:

x1 = 1, x2 = -34/19.

Ответ: 1; -34/19.

''Пример 2.

341x2 + 290x - 51 = 0

Решение:

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию свойства 2:

341 - 51 = 290. Получим а + с = b.

Следовательно, мы можем воспользоваться свойством 2.

x1 = -1 и х2 = 51/341

Ответ: -1; 51/341.

==Вывод==

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T22:39:32Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

'''Свойства коэффициентов приведенного квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

''Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = c/a.

''Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a.

''Пример 1.

Решить уравнение 19x2 + 15x – 34 = 0

Здесь а = 19, b = 15, c = -34

Проверим, будет ли а + b + c = 0?

а + b + c = 19 + 15 + (-34) = 0

Можем применить свойство 1:

x1 = 1, x2 = -34/19.

Ответ: 1; -34/19.

''Пример 2.

341x2 + 290x - 51 = 0

Решение:

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию свойства 2:

341 - 51 = 290. Получим а + с = b.

Следовательно, мы можем воспользоваться свойством 2.

x1 = -1 и х2 = 51/341

Ответ: -1; 51/341.

==Вывод==

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T22:30:03Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

'''Свойства коэффициентов приведенного квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

''Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = c/a.

''Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a.

==Вывод==

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T22:29:23Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение:

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение:

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

'''Свойства коэффициентов приведенного квадратного уравнения.

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

''Свойство 1.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = c/a.

''Свойство 2.

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то
x1 = -1, x2 = -c/a.

==Вывод==

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T22:24:35Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение.

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение.

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

==Вывод==

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T22:21:56Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение.

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 17x – 15 = 0.

Решение.

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

==Вывод==

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T22:20:02Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2= (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение.

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 1 7x – 15 = 0.

Решение.

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

==Вывод==

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T22:17:47Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2 = (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение.

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 1 7x – 15 = 0.

Решение.

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

==Вывод==

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T22:17:24Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

==Авторы и участники проекта==
*[[Участник:Александр777|Бычков Александр]]
*[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья]]
участники группы "Эксперты в устном решении квадратных уравнений"

==Тема исследования группы==
Специальные приемы решения квадратных уравнений в рамках проекта [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений|"Специфические приемы решения уравнений"]]

== Проблемный вопрос (вопрос для исследования)==
Как преобразовать неприведенное уравнение к приведенному?

Как можно угадывать корни некоторых приведенных уравнений очень быстро?

== Гипотеза исследования ==
Если будут исследованы приёмы сведения неприведенного квадратного уравнения к приведенному, а также некоторые "удобные" свойства коэффициентов приведенных квадратных уравнений, то это будет способствовать более быстрому поиску корней квадратных уравнений.

==Цели исследования==
1. Рассмотреть примеры задач, для решения которых необходимо умение решать квадратное уравнение.

2. Изучить литературу по проблеме исследования и выяснить, в чем заключается способ переброски коэффициентов.

3. Исследовать, какие свойства коэффициентов приведенных уравнений и как помогают ускорить поиск корней.

==Результаты проведённого исследования==
В начале нашего исследования мы решили выяснить, для решения каких задач может быть полезно применение приемов решения квадратных уравнений. Этот список оказался обширным. Вот некоторые задачи из этого списка:

'''Задача № 1

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько граммов серебра в сплаве?

'''Задача № 2

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков новый процент годовых?

Далее мы решили проанализировать, а какие приемы помимо стандартных (формулы корней, теорема Виета) могут помочь нам решать квадратные уравнения, возможно, даже устно.
В результате нами был собран обширный материал.

'''Способ переброски коэффициентов.
Рассмотрим способ, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0; (1)

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта:

D = b2 – 4ac и если D > 0, то с помощью формул корней полного квадратного уравнения находим x1 и x2:

x1,2 = (-b ± √D) / 2a.

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение

y2 + by + ac = 0. (2)

Первый коэффициент у этого уравнения равен 1, а второй коэффициент равен b и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2) равен ac и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть можно сказать, что a «перебросилось» к c).

Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения (2): D = b2 – 4ac, т.е. он полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2): y1,2 = (-b ± √D) / 2.

Если теперь корни x1,2 сравнить с корнями y1,2, то легко видеть, что корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на a.

Теперь рассмотрим примеры, в которых очень удобно пользоваться приведенным выше методом «переброски».

''Пример 1.

Решить уравнение 6x2 – 7x – 3 = 0.

Решение.

Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:

y2 – 7y – 3 · 6 = 0;

y2 – 7y – 18 = 0.

По теореме Виета y1 = 9; y2 = -2.

Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:

x1 = 9/6; x2 = -2/6.

После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

Ответ: -1/3; 1,5.

''Пример 2.

Решить уравнение 4x2 – 1 7x – 15 = 0.

Решение.

Так как метод «переброски» предназначен для устного решения квадратных уравнений, то при определенном навыке несложно найти числа, сумма которых равна 17, а произведение -60 (ведь после «переброски» свободный член будет равен 4 · (-15) = -60). Это будут числа 20 и -3. Таким образом, получим корни:

x1 = 20/4; x2 = -3/4.

Сократив полученные корни будем иметь x1 = 5; x2 = -3/4.

Ответ: -3/4; 5.

==Вывод==

==Полезные ресурсы==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

== Другие документы ==

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T21:59:59Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T21:54:05Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T21:53:45Z

Александр777: /* Результаты проведённого исследования */

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T21:47:22Z

Александр777: /* Цели исследования */

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-21T21:32:16Z

Александр777: /* Проблемные вопросы */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени?''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Визитная карточка проекта ==

== Публикация преподавателя ==

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T21:23:20Z

Александр777: /* Тема исследования группы */

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-21T21:22:09Z

Александр777: /* Автор проекта */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]

[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Визитная карточка проекта ==

== Публикация преподавателя ==

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Учебный проект Специфические приемы решения уравнений

2018-10-21T21:21:58Z

Александр777: /* Автор проекта */

== Автор проекта ==
[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]]
[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]]

== Предмет, класс ==
Алгебра, 9 класс

== Краткая аннотация проекта ==
Данный проект посвящен нестандартным приемам решения различных видов уравнений. Дело в том, что во время обучения школьной программе учащиеся подробно осваивают лишь линейные и квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним. На таких уроках ведется отработка стандартных алгоритмов работы с указанными видами уравнений. В то же время некоторые специфические приемы останутся практически незатронутыми. При работе с проектом учащиеся познакомятся с другими интересными приемами, способами решений уравнений, а также видами уравнений, решаемых с помощью таких приемов.

== Вопросы, направляющие проект ==

===''Основополагающий вопрос''===
'''Какие специфические приемы решения уравнений высших степеней существуют в алгебре?'''

===''Проблемные вопросы''===
''Какие существуют приемы сведения неприведенных квадратных уравнений к приведенным?''

''Как можно быстро угадывать корни частных видов приведенных уравнений?''

''Какие существуют различные приемы при решении уравнений выше второй степени''

===''Учебные вопросы''===

1. Что такое способ переброски коэффициентов и как он помогает решать квадратные уравнения.

2. Быстрое решение приведенных уравнений с помощью свойств коэффициентов.

3. Нахождение целых корней уравнения среди делителей свободного члена алгебраического уравнения степени выше 2.

4. Решение уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители.

5. Решение возвратных уравнений четвертой степени.

6. Различные замены при решении уравнений высших степеней.

==План проведения проекта==

'''I. Организационно-подготовительный этап'''

Знакомство с целями и задачами проекта с помощью стартовой презентации

Формулирование целей и задач исследования

Формирование групп учащихся

Составление плана работы группы, распределение обязанностей между членами группы

'''II. Аналитический этап'''

Подбор материала

Обсуждение с учащимися критериев оценивания публикации, презентации, творческой работы и т.д.

Обобщение и оформление результатов исследований

'''III. Заключительный этап'''

Представление и защита проекта

Оценка проекта по критериям оценивания

Анализ работы групп

Рефлексия участников проекта

Итоговая рефлексия для обобщающего анализа работы по проекту

== Визитная карточка проекта ==

== Публикация преподавателя ==

== Презентация преподавателя для выявления представлений и интересов учащихся ==

[https://drive.google.com/open?id=1K5ZNoLbuvLemYT38kkFNhyIG3glkid-4 Стартовая презентация учителя]

== Пример продукта проектной деятельности учащихся ==

[[Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».]]

== Материалы по формирующему и итоговому оцениванию ==

== Материалы по сопровождению и поддержке проектной деятельности ==

[[Шаблон:Вики-статья студента|Шаблон для оформления вики-статьи учеников]]

[https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]

[http://ru.wikibooks.org/wiki/Вики Учебник по вики]

[http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ Программы для построения карт знаний]

[https://drive.google.com/file/d/0BxktnV263vdQU05WLWI1YVlHNmM/edit?usp=sharing Руководство к Power Point]

== Полезные ресурсы ==

[https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski Решение квадратных уравнений методом переброски]

[https://sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia Свойства коэффициентов квадратного уравнения]

[http://alleng.org/d/math/math55_1.htm Алимов Ш.А. Алгебра. 9 класс. Учебник]

== Проекты с аналогичной тематикой ==

== Другие документы ==

[[Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018]]

[[Категория:Проекты]]

Основной курс программы Intel Обучение для будущего МНОП-17-1 сентябрь-октябрь 2018

2018-10-21T21:20:56Z

Александр777: /* Портфолио проектов */

=Организационные моменты=
'''Даты проведения'''

сентябрь-октябрь 2018 года

[[Группа МНОП-17-1]]

'''Преподаватель'''

[[Участник:Круподерова Елена Петровна|Круподерова Елена Петровна]]

=Цель=
* Освоение содержания Основного курса программы Intel "Обучение для будущего"
* Развитие компетентности в области организации проектной деятельности с использованием информационно-коммуникационных технологий
* Создание портфолио учебного проекта

= Ресурсы =

'''Примеры портфолио проектов:'''

[[Площадка программы Intel Обучение для будущего|Примеры проектов студентов НГПУ]]

[http://www.iteach.ru/exp/learn_projects.php Примеры проектов на сайте iteach.ru]

= Наши ссылки =
*[http://iteach.ru/getpifile.php?file_name=%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%B8%D0%B5:%20%22%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%B4%D0%B5%D1%8F%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%20%D0%B2%20%D0%B8%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D1%81%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%20XXI%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D0%B0%22.rar&file_path=http://db.ph-int.org/upload/iteach/texts/pi_2011_06_23-08_54_57_1.rar Учебное пособие "Проектная деятельность в информационной образовательной среде XXI века"]
* [http://xn--80abucjiibhv9a.xn--p1ai/%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B/543 ФГОС общего образования второго поколения]
*[http://fgosreestr.ru/ Примерные основные общеобразовательные программы]
*[http://window.edu.ru/resource/206/37206 Примерная программа по информатике (старшая школа базовый уровень)]
*[http://window.edu.ru/resource/226/37226 Примерная программа по информатике (старшая школа профильный уровень)]
*[http://window.edu.ru/resource/183/37183 Примерная программа основного общего образования по информатике]
*[http://window.edu.ru/resource/182/37182 Примерная программа по математике основного общего образования]
*[http://window.edu.ru/resource/204/37204 Примерная программа по математике (старшая школа базовый уровень)]
*[http://window.edu.ru/resource/225/37225 Примерная программа по математике (старшая школа профильный уровень)]
*[http://window.edu.ru/resource/197/37197 Примерная программа основного общего образования по физической культуре]
*[http://window.edu.ru/resource/218/37218 Примерная программа среднего общего образования по физической культуре (базовый уровень)]
*[http://window.edu.ru/resource/238/37238 Примерная программа среднего общего образования по физической культуре (профильный уровень)]
*[http://window.edu.ru/resource/190/37190 Примерная программа по биологии основного общего образования]
*[http://window.edu.ru/resource/214/37214 Примерная программа по биологии (старшая школа базовый уровень)]
*[http://window.edu.ru/resource/234/37234 Примерная программа по биологии (старшая школа профильный уровень)]
*[http://window.edu.ru/resource/209/37209 Примерная программа по экономике (старшая школа базовый уровень)]
*[http://window.edu.ru/resource/229/37229 Примерная программа по экономике (профильный уровень)]
* [[Правила работы на Википортале НГПУ]]
* [http://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8 Учебник по вики]
*[[Шаблон:Вики-статья студента]]
* [http://www.stimul.biz/ru/lib/soft/ '''Программы для построения карт знаний''']
* [http://www.timerime.com/en/ '''Он-лайн программа для создания лент времени TimeRime''']
* [http://www.dipity.com/ '''Он-лайн программа для создания лент времени Dipity''']
* [http://classtools.net/ on-line программы построения схем «рыбий скелет», диаграмм Венна, лент времени и др.]
*[[Медиа:Круподерова Инструменты визуализации.pdf|Примеры on-line средств визуализации]]
*[https://docs.google.com/present/view?id=ddqkhtfg_92ffrctwcg Построение схемы «Рыбий скелет»]
* [https://sites.google.com/site/proektmk2/ Сайт проекта "Мой кейс Веб 2.0 (методические материалы по сервисам Веб 2.0)"]
*[https://sites.google.com/site/mojkejsveb2/ Сайт поддержки проектной деятельности для проекта "Учим и учимся с Веб 2.0"]
*[http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=A4mhjXvwq_Q Видеоинструкция по работе в Prezi]
*[http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=b9XuQC9VYyQ Видеоинструкция по работе в сервисе ФотоФильмы.ру ]
*[[Учебный проект Мир денег|Пример проекта по экономике]]
*[[Учебный проект Статистика в деталях: просто о сложном|Пример проекта по математике]]
*[[Учебный проект Безопасность в Интернете|Пример проекта по информатике]]
*[[Учебный проект легкая атлетика - королева спорта|Пример проекта по физкультуре]]
*[http://primwiki.ru/index.php/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B0_%D0%A1%D0%B5%D1%80%D0%B4%D1%86%D0%B5_-_%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%80 Пример проекта по биологии]

= Портфолио проектов =
На страницу проекта вставьте пожалуйста [[Шаблон:Портфолио проекта]]
или [[Шаблон:Портфолио проекта1]]
#[[Участник:Александр777|Бычков Александр Владиславович]] [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений]]
#[[Участник:Вронская Наталья|Вронская Наталья Андреевна]] [[Учебный проект Специфические приемы решения уравнений]]
#[[Участник:Кириллова Мария|Кириллова Мария Павловна]] [[Учебный проект Мир правильных многогранников]]
#[[Участник:Anastasiia95|Морозова Анастасия Романовна]] [[Учебный проект Строевые упражнения - неотъемлемая часть каждого урока]]
#[[Участник:sahka89|Дроздова Александра Викторовна]] [[Учебный проект Удивительный мир информатики]]
#[[Участник:Oleg Musin|Мусин Олег Алишерович]] [[Учебный проект Биомеханика каждого дня]]
#[[Участник:Юлия Костылева|Костылева Юлия Владимировна]] [[Учебный проект Царства Флоры и Фауны]]
#[[Участник:Tyupina Yuliya|Тюпина Юлия Анатольевна]] [[Учебный проект Ссудный процент]]
#[[Участник:Гречухина Елена|Гречухина Елена Владиславовна]] [[Учебный проект Квадратные уравнения]]
#[[Участник:Наумова Екатерина|Наумова Екатерина Сергеевна ]] [[Учебный проект Древний Египет]]
#[[Участник:Альбина|Кирпичёва Альбина Александровна ]] [[Учебный проект ЛФК при сколиозе]]

[[Категория:Обучение будущего]]

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T21:20:12Z

Александр777: /* Цели исследования */

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T21:13:53Z

Александр777: /* Полезные ресурсы */

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T21:11:34Z

Александр777: /* Цели исследования */

Результаты исследования учащихся в проекте «Специфические приемы решения уравнений».

2018-10-21T21:11:19Z

Александр777: /* Цели исследования */